Сеточная аппроксимация параболических уравнений с сингулярными начальными условиями

Рассматривается задача Дирихле на полосе для сингулярно возмущенных квазилинейных уравнений параболического типа; начальные условия задачи изменяются на конечную величину в узкой области ширины $2\delta$. Возмущающий параметр $\varepsilon^2$ – параметр при старших производных уравнения,, а также параметр $\delta$ могут принимать произвольные значения из полуинтервалов $[0,1)$ и $[0,d_1)$ соответственно, где $2d_1$ – ширина полосы.. При $\varepsilon=0$ параболическое уравнение вырождается в уравнение первого порядка, содержащее производную лишь по временной переменной. Показано, что классические разностные схемы на равномерных сетках не сходятся равномерно относительно параметров $\varepsilon$ и $\delta$. Более того, показано, что в случае классических разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений не существует таких прямоугольных сеток (порождаемых кусочно-равномерными пространственной и временной сетками с фиксированным числом интервалов с постоянным шагом разбиения), на которых решение разностной схемы сходится равномерно относительно параметров. Для указанных краевых задач с использованием сгущающихся (в пограничных и переходных слоях) сеток, а также разностных аппроксимаций на основе схем подгонки строятся специальные разностные схемы, сходящиеся равномерно относительно параметров $\varepsilon$ и $\delta$.