$D$-Устойчивость матриц $4\times 4$

$D$-Устойчивость матрицы понимается как ее устойчивость в произведении с любой диагональной матрицей с положительными элементами на диагонали. Критерий устойчивости Рауса–Гурвица позволяет свести неконструктивное определение $D$-устойчивости к проверке положительности некоторых полиномов от нескольких переменных всюду в положительном ортанте. Эта проверка осуществима для матриц второго и третьего порядков благодаря элементарности соответствующих результатов для подиномов низких порядков. Для матриц $4\times 4$ доказаны теорема, устанавливающая общий критерий $D$-устойчивости, и теорема, которая сводит проверку критерия к выяснению неположительности решений некоторой задачи полиномиального программирования. Результаты, известные для этих задач, обеспечивают конечность числа решений и реализуемость соответствующего алгоритма. Практическая реализация критерия в общем случае слишком трудоемка и осуществлена авторами лишь для матриц $4\times 4$ с двумя или тремя нулями на главной диагонали – ограничение, вполне приемлемое в прикладных областях, например в задачах математической экологии.