О корректности задачи Коши для системы уравнений среднего поля, описывающей модель твердого магнетика

Рассматривается модель твердого магнетика как системы частиц, обладающих механическим моментом $\mathbf s(\mathbf s\in S^2)$ и магнитным моментом $\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{\mu}=\mathbf s)$, которые взаимодействуют друг с другом посредством магнитного поля, что определяет изменение механического момента каждой частицы. Изучается интегродифференциальное уравнение с сингулярным ядром интегрального оператора, определяющее эволюцию одночастичной функции распределения указанной системы частиц. Для начальных данных достаточно общего вида (начальные условия есть суммируемые в степени $p$ ($1<p<\infty$) функции на фазовом пространстве системы) доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенного решения задачи Коши для данного уравнения и о непрерывной зависимости обобщенного решения от начальных условий. Доказано сохранение $L_p$-нормы обобщенного решения. Исследуются также свойства решений задачи Коши для уравнения с гладким ядром интегрального оператора, аппроксимирующих решение исходной задачи. Доказаны существование и единственность классического решения такой задачи. Установлена сходимость решений сглаженных задач к решению задачи с сингулярным потенциалом при снятии сглаживания.