Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных краевых задач на локально переизмельчаемых сетках. Уравнения конвекции-диффузии

На полосе рассматривается задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с конвективными членами. Старшие производные уравнения содержат параметр $\varepsilon$, принимающий произвольные значения из полуинтервала $(0,1]$. Для краевой задачи исследуются классические разностные аппроксимации уравнений на последовательно локально переизмельчаемых (априорно либо апостериорно) сетках. На подобластях, подвергающихся переизмельчению, используются равномерные сетки; уточнение сеточных решений проводится лишь на этих подобластях. Построены специальные разностные схемы, позволяющие получать приближения, сходящиеся на грубой (исходной) сетке $\varepsilon$-равномерно, а также на густой сетке (сетке, сгущающейся в пограничном слое) с ошибкой, слабо зависящей от величины параметра $\varepsilon$. Для таких "почти $\varepsilon$-равномерно" сходящихся разностных схем выполняется оценка $|u(x)-z(x)|\le M[\varepsilon^{-\nu}N_{1}^{-1+\mu}+N_{2}^{-1}],x\in\overline D_{h},$ где $\mu$, $\nu$ – произвольные числа из $(0,1)$, $N_1+1$ и $N_2+1$ – число узлов сетки по $x_1$ и по $x_2$ на отрезке единичной длины, $M=M(\nu,\mu)$.