О квазидиагонализуемости $3$-самосопряженных матриц

Линейный ограниченный оператор $A$ на комплексном гильбертовом пространстве $H$, удовлетворяющий уравнению $A^3-3A^*A^2+3(A^*)^2-(A^*)^3=0$, называется $3$-самосопряженным. Теорема Хэлтона связывает свойство $3$-самосопряженности, выполненное как для $A$, так и для $A^*$, с возможностью специального (так называемого “жорданова”) представления оператора $A$. В конечномерном случае это представление означает, что $A$ – унитарно квазидиагонализуемый оператор (матрица). Мы показываем, что квазидиагонализуемость $3$-самосопряженного оператора может быть установлена с помощью критериев унитарной квазидиагонализуемости, сформулированных вторым автором. Подробно обсуждается найденное недавно усовершенствование теоремы Хэлтона для конечномерного случая.