Трехточечные разностные схемы высокого порядка точности для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Построены трехточечные разностные схемы (ТРС) $m$-го порядка точности для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями I рода. При условиях существования и единственности решения рассматриваемой задачи на сетке $\omega_h$ с ограничениями на величину шага $h$ доказано существование точной трехточечной разностной схемы (ТТРС). Для нахождения вектора правой части ТТРС в произвольном узле $x_j$ сетки $\omega_h$ требуется решить две вспомогательные нелинейные задачи Коши для системы ОДУ на отрезках $[x_{j-1},x_j]$ (вперед) и $[x_j,x_{j+1}]$ (назад). Каждая из задач решается за один шаг одношаговым методом разложения в ряд Тейлора порядка точности $\bar m=2[(m+1)/2]$ ($[\cdot]$ – целая часть). В результате получена реализация ТТРС, для которой доказано, что она обладает $m$-м порядком точности. Построено приближение потока $K(x)d\mathrm u/dx$ в узлах сетки, точность которого совпадает с точностью приближения $\mathrm u(x)$, т.е. равна $m$.