Метод регуляризации для вычисления гипергеометрической функции $F(a,b;c;z)$ в окрестности особых точек $z=1$ и $z=\infty$

В окрестности регулярных особых точек $z=1$ и $z=\infty$ гипергеометрическая функция Гаусса $F(a,b;c;z)$ выражается в виде суммы $S_1+S_2$ двух других гипергеометрических функций, однако для ряда значений комплексных параметров $a$, $b$, $c$ слагаемые $S_1$ и $S_2$ неограниченно возрастают, что соответствует их приближению к простым полюсам, в которых сумма вычетов слагаемых равна нулю. Чтобы избежать необходимости оперировать неограниченно растущими величинами и связанной с этим потери точности при вычислении их суммы, предложен новый метод регуляризации, при котором вводится параметр $\varepsilon$, описывающий близость значений функций к полюсам, а каждое из слагаемых представляется в виде $S_1=\varepsilon^{-1}f_0(\varepsilon)[1+\varepsilon f_1(\varepsilon)]$ и $S_2=-\varepsilon^{-1}f_0(\varepsilon)[1+\varepsilon f_2(\varepsilon)]$ где функции $f_0(\varepsilon)$, $f_1(\varepsilon)$, $f_2(\varepsilon)$ регулярны в окрестности точки $\varepsilon=0$ и вычисляются с любой точностью на основе специальных разложений для отношения значений двух $\Gamma$-функций и гипергеометрических рядов. Это приводит к равенству $F(a,b;c;z)=f_0(\varepsilon)[f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]$. Численные эксперименты подтвердили высокую эффективность метода.