О существовании уравнений для описания классов невырожденных криволинейных координат в произвольной области

Криволинейные координаты в односвязной области строятся с помощью отображения единичного квадрата в эту область. Сформулирован вариационный принцип, позволяющий при введении криволинейных координат выделять классы взаимно однозначных отображений. Выписывается функционал, который зависит от производных искомых функций и от переменных коэффициентов, представляющих собой элементы некоторой симметричной и положительно-определенной матрицы. Вариационный принцип гласит, что отображение, минимизирующее данный функционал и тем самым удовлетворяющее уравнениям Эйлера, обязательно будет взаимно однозначным; если же отображение не является взаимно однозначным, то оно не может быть минимумом и удовлетворять уравнениям Эйлера данного функционала ни при каких значениях коэффициентов. Из этого принципа следует, что существуют уравнения, описывающие все возможные взаимно однозначные отображения. Сформулирован и полностью доказан дискретный аналог данного вариационного принципа.