Апостериорные тождества для мер отклонений от точных решений нелинейных краевых задач

Получены функциональные тождества, которые выполняются для отклонений от точных решений краевых и начально-краевых задач с монотонными операторами. Тождества выполняются для любых функций из соответствующего функционального класса, который содержит точное решение задачи. Левая часть тождества представляет собой сумму мер отклонений приближенного решения от точного. Показано, что именно такие меры являются естественными характеристиками точности приближенных решений. В некоторых случаях правая часть тождества содержит только известные данные задачи и функции, характеризующие приближенное решение. Такое тождество можно прямо использовать для контроля точности. В других случаях правая часть включает неизвестные функции. Однако их можно исключить и получить полностью вычисляемые двусторонние оценки. При этом необходимо использовать специальные функциональные неравенства, связывающие меры отклонения со свойствами рассматриваемого монотонного оператора. В качестве примера такие оценки и точные значения соответствующих констант получены для класса задач с оператором $\alpha$-Лапласиана. Показано, что тождества и вытекающие из них оценки позволяют оценивать погрешность любых аппроксимаций независимо от способа их получения. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что дает возможность оценивать ошибки математических моделей, например тех, что возникают при упрощении коэффициентов дифференциального уравнения. В первой части статьи теория и приложения касаются стационарных моделей, а затем основные результаты переносятся на эволюционные модели с монотонными пространственными операторами.
Библ. 30. Фиг. 2.