Сингулярное множество оптимальных транспортных отображений

Транспортные задачи играют важную роль во многих инженерных областях, в частности, в глубоком обучении. По теореме Бренье вычисление оптимальных транспортных отображений сводится к решению уравнений Монжа–Ампера, что, в свою очередь, эквивалентно построению политопов Александрова. Кроме того, теория регулярности уравнения Монжа–Ампера объясняет проблему схлопывания мод в задачах глубокого обучения. Следовательно, вычисление и изучение множеств сингулярностей транспортных отображений являются важной и актуальной задачей. В настоящей работе мы переходим от классического понятия медиальной оси к более общей степенной медиальной оси, которая описывает множества сингулярностей оптимальных транспортных отображений. Предложен вычислительный алгоритм, основанный на вариационном подходе с использованием степенных диаграмм (радикальных разбиений). Более того, доказано, что при гомотопическом изменении мер соответствующие множества сингулярностей оптимальных транспортных отображений тоже гомотопически эквивалентны. Кроме того, мы обобщаем концепцию расстояния Фреше и используем условие скошенности, чтобы дать достаточное условие для существования сингулярностей оптимальных транспортных отображений между плоскими областями. Условие формулируется с использованием кривизны границы.
Библ. 20. Фиг. 15.