Параметризации решений уравнения Эмдена–Фаулера и модель Томаса–Ферми сжатого атома

Для нелинейного уравнения Эмдена–Фаулера рассмотрены сингулярная задача Коши и сингулярная двухточечная краевая задача на полупрямой $r\in[0,+\infty)$ и на отрезке $r\in[0,R]$ с краевым условием первого рода в начале координат и условием третьего рода в правом конце промежутка. Данная постановка краевой задачи при специальных значениях параметров отвечает модели Томаса–Ферми распределения плотности заряда внутри сферически симметричного тяжелого охлажденного атома, заключенного в ограниченном объеме либо занимающего все доступное пространство, где величина $R$ соответствует границе сжатого атома и обращается в бесконечность для несжатого атома. Для краевой задачи на полупрямой получено новое параметрическое представление решения, охватывающее полный промежуток изменения аргумента, т.е. числовой луч $r\in[0,+\infty)$, с параметром $t$, пробегающим единичный отрезок. Для входящих в данное представление аналитических функций дан алгоритм явного вычисления коэффициентов Тейлора при $t=0$. В приложении к задаче Томаса–Ферми о свободном атоме предъявлены соответствующие тейлоровские разложения, и продемонстрирован экспоненциальный характер их сходимости на единичном отрезке $t\in[0,1]$ с более высокой скоростью сходимости, чем у построенного ранее аналогичного представления. Дан эффективный аналитико-численный метод, позволяющий вычислить решение задачи Томаса–Ферми на полупрямой с любой наперед заданной точностью не только в окрестности $r=+\infty$, но также и в любой точке луча $r\in[0,+\infty)$. Получена новая формула для критического значения производной при постановке задачи Коши в начале координат, соответствующего решению задачи на полупрямой. В численном эксперименте показано, что полученная формула является более эффективной по сравнению с известной формулой Майораны. Для решения задачи Коши с положительным значением производной в начале координат получена параметризация решения, обеспечивающая выполнение краевых условий сингулярной краевой задачи на отрезке $r\in[0,R]$ при подходящем $R>0$. Построен эффективный аналитико-численный метод решения такой задачи Коши и проведена его численная реализация. Библ. 23. Фиг. 4. Табл. 1.