Асимптотика полиномов Лежандра по индексу в окрестности $x=1$. Обобщение формулы Мелера–Рэлея

Получена асимптотика полиномов Лежандра $P_n(x)$ по обратным степеням индекса $n$ в окрестности $x=1$. Показано, что коэффициент асимптотического разложения при $n^{-k}$ представляет собой линейную комбинацию членов вида $\rho^pJ_p(\rho)$, $0\le p\le k$. Продемонстрировано совпадение первых членов полученного разложения с известным разложением полиномов Лежандра вне окрестностей концов интервала $-1\le x\le1$ в промежуточном пределе. Полученный результат позволяет записать равномерное разложение полиномов Лежандра по индексу во всем промежутке $[-1,1]$. Библ. 8.