Моделирование динамических процессов в длинных джозефсоновских переходах. Проблема вычисления вольт-амперных характеристик. Оценки скорости роста ошибок округления для разностной схемы второго порядка точности

При численных расчетах вольт-амперных характеристик систем джозефсоновских переходов обычно используется схема Рунге–Кутты четвертого порядка точности. Расчеты проводятся для больших интервалов времени и на каждом шаге по времени проводится четырехкратный пересчет. Чтобы сократить расчетное время, в этой работе предлагается использовать вместо схемы Рунге-Кутты “явную” схему второго порядка точности. Получены хорошие результаты на конкретных расчетах. В этой работе доказаны оценки $\left\|{{{G}^{n}}}\right\|$ для всех $n$, гарантирующие ограниченность роста ошибок округления, $G$ – оператор перехода от слоя к слою. Неординарность рассматриваемой схемы состоит в том, что ее коэффициенты зависят не только от отношения шагов сетки $\gamma = \tau {\text{/}}h$, но и от $\tau $ ($\tau,h$ – шаги сетки по $t$ и $x$). Доказано, что для всех $\gamma \leqslant 1$ собственные значения характеристической матрицы находятся в пределах единичного круга ($\left|{{{\lambda }_{j}}({{e}^{{i\phi }}})}\right|\leqslant1$ для всех $0\leqslant\phi\leqslant2\pi$), оставаясь при этом на расстоянии $O(\tau)$ от единичной окружности. Развитый метод оценок может быть использован при исследовании других численных методов. Библ. 7.