Платежеспособность страховой компании в дуальной модели риска с учетом инвестиций: анализ и численные исследования сингулярных краевых задач

Рассматривается задача о вероятности неразорения для коллективной модели пенсионного страхования (так называемой дуальной модели риска) в условиях инвестирования всего резерва страховой компании (или фиксированной его доли) в рисковый актив, моделируемый геометрическим броуновским движением. Типичный договор страхования в данной модели предполагает пожизненное обеспечение страхователя в обмен на передачу права наследования его собственности в пользу страховой компании. Модель рассматривается как дуальная по отношению к классической модели Крамера–Лундберга. В структуре процесса страхового риска это выражается наличием положительных случайных скачков (составного пуассоновского процесса) и линейно убывающей детерминированной составляющей, отвечающей выплате пенсий. Для случая экспоненциального распределения размеров скачков показано, что вероятность неразорения как функция начального капитала, определенная на неотрицательной вещественной полуоси, является решением сингулярной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения c невольтерровым интегральным оператором.