Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений на римановых поверхностях с неограниченной точностью

Рассматриваются аналитические системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с вещественным и комплексным временем. Интегрирование таких ОДУ эквивалентно аналитическому продолжению решения вдоль некоторого пути, который обычно расположен на вещественной оси. Возникающие на этом пути препятствия часто обусловлены особенностями решения, которые расположены вне вещественной оси. Оказывается, возможно обойти проблемные участки (включая сингулярности), просто выходя на риманову поверхность решения (т.е. в комплексную область). Естественным способом реализации такой программы является метод тейлоровских разложений, который не требует формальной комплексификации системы (т.е. замен переменных). На примере двух классических задач: ограниченной задачи трех тел и уравнения Ван дер Поля – мы покажем, как метод Тейлора применяется для интегрирования ОДУ с неограниченной точностью. В этих задачах нами получены новые результаты. Библ. 15. Фиг. 13. Табл. 3.