Компьютерная разностная схема для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции–диффузии при наличии возмущений

На прямоугольнике рассматривается сеточная аппроксимация краевой задачи для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции–диффузии с возмущающим параметром $\varepsilon$, $\varepsilon\in(0, 1]$, при старших производных; исследуются устойчивость стандартной разностной схемы, строящейся на основе монотонных аппроксимаций задачи на равномерной сетке, а также поведение сеточных решений при наличии возмущений. Такая схема с ростом числа сеточных узлов не сходится $\varepsilon$-равномерно в равномерной норме; имеет место лишь условная сходимость. В том случае, когда решение разностной схемы сходится, а именно при условии $N_1^{-1}N_2^{-1}\ll\varepsilon$, где $N_1$ и $N_2$ — число сеточных интервалов по $x$ и $y$ соответственно, разностная схема не является $\varepsilon$-равномерно хорошо обусловленной и $\varepsilon$-равномерно устойчивой к возмущениям данных сеточной задачи и компьютерным возмущениям. Для стандартной разностной схемы при наличии возмущений данных сеточной задачи и/или компьютерных возмущений получены условия, налагаемые на “параметры” разностной схемы и компьютера (определяемые величиной параметра $\varepsilon$, величинами $N_1$, $N_2$, а также допустимыми возмущениями данных сеточной задачи и допустимыми компьютерными возмущениями), обеспечивающие сходимость возмущенных решений при $N_1$, $N_2\to\infty$, $\varepsilon\in(0, 1]$. Разностная схема, построенная при наличии указанных возмущений и сходящаяся при $N_1$, $N_2\to\infty$ и фиксированных значениях $\varepsilon$, $\varepsilon\in(0, 1]$, названа компьютерной разностной схемой. Схемы, сходящиеся $\varepsilon$-равномерно, как и условно сходящиеся компьютерные схемы, относим к надежным схемам. Для возмущений данных стандартной разностной схемы и компьютерных возмущений получены также условия, при которых скорость сходимости решения компьютерной разностной схемы по порядку такая же, как у решения стандартной разностной схемы при отсутствии возмущений. Такое свойство решений компьютерной разностной схемы позволяет эффективно использовать эту схему для практических вычислений. Библ. 26.