Вычисление нулей функции альфа-экспонента

Работа посвящена исследованию функции $\mathcal{F}(\alpha; z)$ комплексного переменного $z$, определяемой разложением
$$ \mathcal{F}(\alpha; z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{(k!)^\alpha} $$
и являющейся естественным обобщением экспоненты, что и отражено в ее названии. Основное внимание уделено установленению закономерностей расположения ее нулей при $\alpha\in(0, 1)$. Отметим, что функция $\mathcal{F}(\alpha; z)$ возникает в ряде современных задач квантовой механики и оптики. Для значений параметра $\alpha=1/2,~1/3,~\dots$ аппроксимации функции $\mathcal{F}(\alpha; z)$ построены с помощью комбинации вырожденных гипергеометрических функций $_1F_1(a; c; z)$ и их асимптотик при $z\to\infty$. Найденные аппроксимации для $\mathcal{F}(\alpha; z)$ позволяют получить приближения для счетного множества комплексных нулей этой функции в явном виде, которые затем уточняются с помощью высокоточного итерационного метода Ньютона. Выполненное детальное численное исследование выявило сложную структуру траекторий нулей при изменении параметра $\alpha\in(0, 1]$. Вычислены с большой точностью значения первых $30$ комплексных нулей функции для значений $\alpha=1/2$ и $\alpha=1/3$. Библ. 7. Фиг. 2. Табл. 2.