Модифицированная теорема Канторовича и асимптотические приближения решений сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассматривается функциональное уравнение $f(x,\varepsilon)=0$, содержащее малый параметр $\varepsilon$ и допускающее регулярное или сингулярное вырождение при $\varepsilon\to0$. Методами малого параметра находится функция $x_n^0(\varepsilon)$, удовлетворяющая уравнению с точностью до невязки $O(\varepsilon^{n+1})$. Строится модифицированная последовательность Ньютона, начинающаяся с элемента $x_n^0(\varepsilon)$. Существование предела последовательности Ньютона основано на доказываемой НК-теореме (новый вариант доказательства теорем Л. В. Канторовича, обосновывающей сходимость итерационной последовательности Ньютона). Отклонение предела последовательности Ньютона от начального приближения $x_n^0(\varepsilon)$ имеет порядок $O(\varepsilon^{n+1})$, что доказывает асимптотичность приближения $x_n^0(\varepsilon)$. Предложенная методика реализуется на примере построения асимптотического приближения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном или бесконечном временном интервале с малым параметром при производных, но может быть применена к более широкому классу функциональных уравнений с малым параметром. Библ. 9.