Динамические модели страхования с учетом инвестиций: сингулярные задачи с ограничениями для интегродифференциальных уравнений

На основании ранее полученных и новых результатов дается сравнение двух математических моделей страхования при одинаковой стратегии поведения страховых компаний на финансовом рынке — вложении всего текущего капитала или постоянной его доли в рисковый актив (акции), а оставшейся доли — в безрисковый (банковский счет). I модель основана на классическом процессе риска Краме́ра–Лундберга при экспоненциальном распределении размеров страховых требований (исков); в основе II модели — модификация классического процесса риска (процесс риска со случайными премиями) при экспоненциальных распределениях как размеров исков, так и размеров премий. Для вероятности неразорения страховой компании за бесконечное время (как функции ее начального капитала) возникают сингулярные задачи для линейных интегродифференциальных уравнений (ИДУ) второго порядка, определенных на полубесконечном интервале и обладающих неинтегрируемыми особенностями в нуле: I модель приводит к сингулярной начальной задаче с ограничениями для ИДУ с вольтерровым интегральным оператором, II модель — к более сложной нелокальной задаче с ограничениями для ИДУ с невольтерровым интегральным оператором. Дается краткий обзор ранее полученных результатов для этих двух задач, зависящих от нескольких положительных параметров, и приводятся новые. Дополнительные результаты связаны с постановкой, анализом и численным исследованием “вырожденных” задач для обеих моделей, когда некоторые параметры в ИДУ принимают нулевые значения, причем предельные переходы по параметрам от исходных задач к вырожденным являются сингулярными при малых и/или больших значениях аргумента. Такие задачи представляют самостоятельный математический и практический интерес, описывая, наряду с моделями страхования без инвестиций, случаи полного вложения капитала в безрисковые активы, а также некоторые нестраховые модели динамики капитала — типа благотворительного фонда. Библ. 45. Фиг. 18.