Вложенные симметричные неявные гнездовые методы Рунге–Кутты типов Гаусса и Лобатто для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтоновых систем

Предлагается методика построения неявных гнездовых методов Рунге–Кутты для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые относятся к классу мононеявных формул этого типа. Их отличительной чертой является высокая практическая эффективность, которая вытекает из сохранения размерности исходной системы дифференциальных уравнений при применении, что невозможно в неявных многостадийных формулах Рунге–Кутты общего вида. С другой стороны, неявные гнездовые методы Рунге–Кутты наследуют все наиболее важные свойства общих формул этого вида, такие как $A$-устойчивость, симметрия, симплектичность в определенном смысле. Кроме того, они могут иметь достаточно высокие стадийные и классические порядки, а также обеспечивать плотную выдачу результатов интегрирования той же точности, что и порядок основного метода, без больших дополнительных затрат. Таким образом, гнездовые методы эффективны для численного интегрирования дифференциальных уравнений самых разных видов, к которым относятся жесткие и нежесткие задачи, а также гамильтоновы системы и обратимые уравнения.
Настоящая статья посвящена обобщению предложенных ранее гнездовых методов, основанных на квадратурных формулах Гаусса, на методы типа Лобатто. Более того, в статье представлена единая методика построения всех таких методов. Ее работоспособность продемонстрирована на вложенных примерах неявных гнездовых формул разного порядка. Все построенные методы снабжены механизмами для оценки локальной ошибки численного интегрирования и автоматической генерации переменных сеток на отрезке интегрирования за счет выбора оптимального шага. Такие вычислительные процедуры апробированы на тестовых задачах с известным решением и исследованы в сравнении со встроенными решателями системы матричных вычислений MATLAB. Библ. 73. Фиг. 3.