Нелинейные уравнения дисперсии: гладкие деформации, компактоны и обобщения на случай высокого порядка

В качестве ключевой модели исследуется уравнение нелинейной дисперсии третьего порядка
\begin{equation} u_t=(uu_x)_{xx}\quad\text{в}\quad\mathbb R\times\mathbb R_+. \label{1} \end{equation}
В двух основных задачах Римана для (1) с начальными данными
$$ S_{\mp}(x)=\mp\operatorname{sign}{x} $$
возникают ударная волна ($u(x,t)\equiv S_{-}(x)$) и гладкая волна разрежения (для данных $S_{+}$) соответственно. Применение понятия "$\delta$-энтропийные" решения позволяет проверять существование и единственность решений уравнений (1) путем использования устойчивых гладких $\delta$-деформаций решений типа ударных волн аналогично теории энтропии скалярных законов сохранения, таких как
$$ u_t+uu_x=0, $$
разработанной в работах Олейник и Кружкова (для уравнений в $\mathbb R^N$) в 1950–60-х годах. Исследуется также уравнение $K(2,2)$ (компактонов) Розенау–Хаймена
$$ u_t=(uu_x)_{xx}+4uu_x, $$
имеющее особое значение для приложений. Показано, что компактоны (решения типа бегущих волн с компактным носителем) являются $\delta$-энтропийными. Обсуждаются ударные волны и волны разрежения для других уравнений, таких как
$$ u_t=(u^2u_x)_{xx},\quad u_{tt}=(uu_x)_{xx},\quad u_{tt}=uu_x,\quad u_{ttt}=(uu_x)_{xx},\quad u_t=(uu_x)_{xxxxxx}\quad \text{и т.д.} $$

Полный текст статьи публикуется в английской версии данного номера.