Спектральные оценки оператора Лапласа дискретной группы Гейзенберга

Пусть $H$ – дискретная трехмерная группа Гейзенберга со стандартными образующими $x$, $y$, $z$. Элемент $\Delta$ групповой алгебры группы $H$ $\Delta=\frac14(x+x^{-1}+y+y^{-1})$ называется оператором Лапласа, построенным по системе образующих $(x, y)$. Спектр оператора $\Delta$ в регулярном представлении группы $H$ совпадает с отрезком $[-1,1]$. Рассмотрим семейство $E_x$, $x\in[-1,1]$ спектральных проекторов оператора $\Delta$ и соответствующую спектральную меру $\mu{A}=(E_A\delta_e,\delta_e)$, где $\delta_e\in L_2(H)$ – характеристическая функция единичного элемента группы $H$. Мы оцениваем величину $\mu\bigl([-1,-1+t]\cup [1-t,1]\bigr)$ при $t\to 0$, доказывая, что для любого $\alpha>0$ при достаточно малых $t$ $\mu\bigl([-1,-1+t]\cup[1-t,1]\bigr)\ge \mathrm{const}\,t^{2+\alpha}$. Библ. – 7 назв