Оценки для крайних собственных значений блочных $2\times2$ эрмитовых матриц

Пусть $n\times n$ эрмитова матрица $A$ представлена в блочной $2\times2$ форме как $A=\left[\begin{smallmatrix}A_{11}&A_{12}\\A^*_{12}&A_{22}\end{smallmatrix}\right]$, причем $A_{12}\ne0$, и предположим, что диагональные блоки $A_{11}$ и $A_{22}$ положительно определены. В этих предположениях доказано, что крайние собственные значения $A$ удовлетворяют оценкам
$$ \lambda_1(A)\ge\|A_{12}\|(\|R\|^{-1}+1),\quad |\lambda_n(A)|\le\|A_{12}\|\bigl|\|R\|^{-1}-1\bigr|, $$
где $R=A^{-1/2}_{11}A_{12}A^{-1/2}_{22}$ и $\|\cdot\|$ – это спектральная норма матриц. Кроме того, в положительно определенном случае получен ряд эквивалентных условий, необходимых и достаточных для того, чтобы обе приведенные выше оценки достигались. Библ. – 6 назв.