Поведение автоморфных $L$-функций в точках $s=1$ и $s=\frac12$

Пусть $S_k(N)^+$ – множество примитивных параболических форм веса $k$ и уровня $N$, принадлежащих пространству $S_k(\Gamma_0(N))$ (пространство всех $\Gamma_0(N)$-параболических форм веса $k$ и уровня $N$), $L(s,\operatorname{sym}^2f)$ – симметрический квадрат $L$-функции Гекке $L(s,f)$, $f\in S_k(N)^+$. Доказывается:
1) при целом $m\ge1$, $k=2$ и $N=p\to\infty$
$$ \sum_{f\in L_2(N)^+}L^m(1,\operatorname{sym}^2f) =\frac1{2\pi^2}\zeta^{m+1}(2)B_{m+1}N+O(N^{1-\alpha}), $$
где $B_m$ – константа, определяемая в работе, $\alpha=\alpha(m)>0$ – некоторая константа.
Отсюда следует наличие функции распределения у последовательности $\{L(1,\operatorname{sym}^2f),f\in S_2(N)^+\}$, $N=p\to\infty$, причем найден явный вид соответствующей характеристической функции.
2) Для $f\in S_k(1)^+$, $k\ge12$, пусть
$$ \omega_f=\frac{\Gamma(k-1)}{(4\pi)^{k-1}\langle f,f\rangle}, $$
где $\langle f,f\rangle$ – скалярное произведение Петерсона в пространстве $S_k(\Gamma_0(1))$. Доказано, что при $k\to\infty$
$$ \sum_{f\in S_k(1)^+}\omega_f L\Bigl(\frac12,\operatorname{sym}^2 f\Bigr)=\log k+\frac32\gamma+O\Bigl(\frac1{\sqrt k}\Bigr), $$
где $\gamma$ – константа Эйлера.
3) Пусть $f\in S_k(1)^+$, $g\in S_l(1)^+$, $k\ge12$, $l\ge12$, $L(s,f\otimes g)$ – $L$-функция Ранкина–Сельберга. Доказано, что при $k\to\infty$
$$ \sum_{f\in S_k(1)^+}\omega_f L\Bigl(\frac12,f\otimes g\Bigr) =\log k+2\gamma+O\Bigl(\frac1k\Bigr). $$
Отсюда и из результата Сарнака (2001) следует, что при
$$ K^{151/165}\le M\le K^{1-\varepsilon} $$
справедливо неравенство
$$ \sum_{K-M\le k\le K+M} \sum_{\substack{f\in S_k(1)^+\\L(\frac12,f\otimes g)\ne0}}1 \gg(KM)^{1-\varepsilon'} $$
для любого $\varepsilon'>\varepsilon>0$. Библ. – 17 назв.