О некоторых тождествах над элементами симметрической матрицы

Пусть $\operatorname{Sym}(n)$ – пространство вещественных симметрических матриц порядка $n$, $X\in\operatorname{Sym}(n)$. Матрицы $E,X,X^2,\dots,X^{n-1}$ можно рассматривать как векторы евклидова пространства размерности $n^2$. Обозначим через $V(E,X,\dots,X^{n-1})$ объём параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Доказано, что
$$ V^2(E,X,\dots,X^{n-1})=D(X), $$
где $D(X)$ – дискриминант характеристического многочлена матрицы $X$. Описаны два класса гладких преобразований пространства $\operatorname{Sym}(n)$. Библ. – 7 назв.