Дискретная выпуклость

В работе объясняется, какие функции на решетке $\mathbb Z^n$ можно считать вогнутыми (выпуклыми) и какие подмножества решетки можно называть выпуклыми. При построении теории дискретной выпуклости мы руководствовались тремя ключевыми фактами классического выпуклого анализа: сумма и свертка вогнутых функций вогнута; вогнутая функция в каждой точке имеет непустой супердифференциал. Отметим сразу, что интересные классы функций (и даже двойственные друг другу) получаются, если мы требуем или существование супердифференциалов и замкнутость класса относительно сверток, или существование супердифференциалов и замкнутость класса относительно сумм. Соответствующие классы множеств получаются как области аффинности таких функций. При этом первой паре соответствует класс, замкнутый относительно суммирования (по Минковскому), а второму – замкнутый относительно пересечения. В этих классах множеств справедлива теорема о разделении гиперплоскостью двух непересакающихся множеств. Приведена классификация таких классов множеств, а именно, они полностью характеризуются унимодулярными системами. Наиболее интересны для приложений так называемые полиматроидные дискретно вогнутые функции, связанные с унимодулярной системой $\mathbb A_n:=\{\pm e_i,e_i-e_j\}$. Приводятся примеры таких функций, появляющихся в математической экономике, при решении гипотезы Хорна о спектре трех эрмитовых матриц, для описания инвариантов подмодулей над кольцами дискретного нормирования, в схемах Гельфанда–Цетлина и др. Библ. – 6 назв.