|
Записки научных семинаров ПОМИ, 2024, том 538, страницы 152–159
(Mi znsl7529)
|
|
|
|
Chevalley groups over Laurent polynomial rings
[Группы Шевалле над кольцами многочленов Лорана]
A. Stavrova St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute, Fontanka 27, 191023 St. Petersburg, Russia
Аннотация:
Пусть $G$ – односвязная групповая схема Шевалле–Демазюра, не содержащая сомножителей вида $\mathrm{SL}_2$. Для любого коммутативного кольца $R$ с единицей обозначим через $E(R)$ стандартную элементарную подгруппу $G(R)$, т.е. подгруппу, порожденную элементарными корневыми унипотентами. Пусть $K_1^G(R)=G(R)/E(R)$. Мы доказываем, что естественное отображение $$ K_1^G(R[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}])\to K_1^G\bigl(R((x_1))\ldots((x_n))\bigr) $$ инъективно для любого $n\ge 1$, при условии, что $R$ – дедекиндово кольцо или нетерово кольцо, геометрически регулярное над дедекиндовым кольцом с совершенными полями вычетов. При $n=1$ это отображение является, более того, изоморфизмом. Как следствие, мы доказываем, что если $D$ – кольцо главных идеалов, удовлетворяющее $SL_2(D)=E_2(D)$ (например, $D=\mathbb{Z}$), то $$G(D[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}])=E(D[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}]). $$ Это обобщает предшествующие результаты А. А. Суслина и В. И. Копейко для специальных линейных и симплектических групп. Библ. – 23 назв.
Ключевые слова:
группа Шевалле, элементарная подгруппа, групповая схема Шевалле–Демазюра, нестабильный $K_1$-функтор, многочлены Лорана, специальное кольцо главных идеалов.
Поступило: 25.11.2024
Образец цитирования:
A. Stavrova, “Chevalley groups over Laurent polynomial rings”, Алгебра и теория чисел. 7, Зап. научн. сем. ПОМИ, 538, ПОМИ, СПб., 2024, 152–159
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl7529 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v538/p152
|
|