Обратная теорема приближения целыми функциями экспоненциального типа

Пусть $I_k=(a_k,b_k)$, $J_k=[b_k,a_{k+1}]$, $b_k<a_{k+1}$, $k\in\mathbb{Z}$, – отрезки на вещественной оси, сходящиеся к $+\infty$ и $-\infty,$ удовлетворяющие условиям: $|I_k|=2^{-n\alpha}$, если $I_k\subset [2^{n},2^{n+1}] $ или $I_k\subset [-2^{n+1},-2^{n}] $ с некоторым $\alpha>0$ при $n\geq n_0$, $2^{n_0}\cdot 2^{-n\alpha}\le |J_k|\le c_1 2^{n_0}\cdot 2^{-n\alpha}$ с некоторой постоянной $c_1$, если $J_k\subset [2^{n},2^{n+1}]$ или $J_k\subset [-2^{n+1},-2^{n}]$, $ E=\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}J_k.$ Пусть $f_{E,1}(z)$ – субгармоническая на всей плоскости $\mathbb{C}$ функция, удовлетворяющая условиям $f_{E,1}(x)=0$ при $x\in E,\ f_{E,1}(z)$ гармонична в $\mathbb{C}\setminus E, \underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{f_{E,1}(z)}{|z|}=1$ и для любой функции $g$, удовлетворяющей условиям $g(x)\leq 0,\ x\in E$, и $ \underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{g(z)}{|z|}\leq1,$ имеется неравенство $g(z)\leq f_{E,1}(z),\ z\in\mathbb{C}.$ Для $t>0$ положим $L_t(E)=\{z\in\mathbb{C}:f_{E,1}(z)=t\},\ \rho_t(x)=\text{dist}(x,L_t(E)),\ x\in E.$ Пусть $T_{\sigma}$ – множество целых функций $F_{\sigma}$ экспоненциального типа, удовлетворяющих условию
$$ |F_{\sigma}(z)|\leq c_{F_{\sigma}}\text{exp}(\sigma|\text{Im}z|) $$
при $z\in \mathbb{C}$, $\Lambda^s(E)$ – функции из класса Гёльдера порядка $s,\ 0<s<1,$ ограниченные на $E$.
В статье доказана следующая теорема.
Теорема 1. Предположим, что для функции $f$, заданной на $ E$, при любом $\sigma\geq 1$ найдется функция $F_{\sigma}\in T_{\sigma}$ такая, что имеется оценка
\begin{equation}{\notag} |f(x)-F_{\sigma}(x)|\leq c_f\rho^s_{\frac{1}{\sigma}}(x), x\in E. \end{equation}
Тогда $f \in \Lambda^s(E)$. Библ. – 7 назв.