Распределение значений $L$-функций Гекке в точке 1

Пусть $S_2(q)$ – множество новых форм веса 2 и простой ступени $q$. Основным результатом работы является следующая
Теорема. Для достаточно больших $q$ имеем \[ |\frac{#\{\log L_f(1)<x,f\in S_2(q)\}}{\mathrm{dim}S_2(q)}-G(x)|<\frac{\log^2\log q}{\log q}, \tag{3} \] где $G(x)$ – функция распределения случайной величины \[ \log\prod_p(1-\frac{2\cos\varphi_p}p+\frac1{p^2})^{-1}. \tag{4} \] Здесь случайные величины $\varphi_p$ независимы и распределены на промежутке $[0,\pi]$ $\mu_p$-равномерно по мере
$$ \mu_p=\frac2\pi\Bigl(1+\frac1p\Bigr)\frac{\sin^2{\varphi_p}}{1-\frac{2\cos2\varphi_p}{p} +\frac1{p^2}}\,d\varphi_p. $$
Библ. – 9 назв.