Об одной предельной теореме для ветвящихся случайных блужданий с конечным числом типов частиц

Рассматривается ветвящееся случайное блуждание по решетке $\mathbb{Z}^d$, $d\in \mathbb{N}$, в котором в любой точке $\mathbb{Z}^d$ частицы конечного числа различных типов могут погибать или производить произвольное число потомков различных типов. Перемещение частицы каждого типа по $\mathbb{Z}^d$ описывается симметричным однородным и неприводимым случайным блужданием. Интенсивность ветвления частиц любого типа в точке $x\in \mathbb{Z}^d$ стремится к нулю при $\|x\|\to\infty$, и при этом выполнено дополнительное условие на параметры ветвящегося случайного блуждания, гарантирующее экспоненциальный по времени рост среднего числа частиц каждого типа в каждой точке $\mathbb{Z}^d$. В этих предположениях доказывается предельная теорема о сходимости в среднеквадратическом нормированного числа частиц каждого типа в произвольной фиксированной точке $y_{0}\in \mathbb{Z}^d$ при $t\rightarrow\infty$. Доказательство основано на аппроксимации нормированного числа частиц некоторым неотрицательным мартингалом. Библ. – 19 назв.