Марковские ветвящиеся случайные блуждания по $\mathbf{Z}_+$ с поглощением в нуле

Рассматривается однородный марковский процесс с непрерывным временем на фазовом пространстве $\mathbf Z_+=\{0,1,2,...\}$, который мы интерпретируем как движение частицы. Частица может переходить только в соседние точки $\mathbf Z_+$, то есть при каждой смене положения частицы ее координата изменяется на единицу. Процесс снабжен механизмом ветвления. Источники ветвления могут находиться в каждой точке $\mathbf Z_+$. В момент ветвления новые частицы появляются в точке ветвления и дальше начинают эволюционировать независимо друг от друга (и от остальных частиц) по тем же законам, что и начальная частица. Нуль на решетке $\mathbf Z_+$ является поглощающим состоянием, то есть частица с ненулевой вероятностью может перейти в нуль, однако там мгновенно погибает. Такое ветвящееся случайное блуждание связано с матрицей Якоби. В терминах ортогональных многочленов второго рода, отвечающих матрице, получены формулы для среднего числа частиц в произвольной фиксированной точке $\mathbf Z_+\setminus\{0\}$ в момент времени $t>0$. Результаты применены к некоторым конкретным моделям, получено точное значение для среднего числа частиц в терминах специальных функций и найдено его асимптотическое поведение при больших временах. Библ. – 7 назв.