О полной сходимости моментов сумм н.о.р.с.в. с конечными дисперсиями

Пусть $\{X_n\}, n\ge 1,$ является последовательностью независимых случайных величин с общей функцией распределения, нулевыми средними и единичными дисперсиями, $\bar S_n =( X_1 +\cdots + X_n)/\sqrt n$. Основной целью работы является изучение поведения при $\varepsilon\to +0$ и при оптимальных (т.е. необходимых) моментных предположениях сумм вида
$$ \Sigma_r(\varepsilon) = \sum\limits_{n\ge 1} n^s \mathbf E \bar S^r_n I[\bar S_n\ge \varepsilon n^\delta], $$
где $\delta, s, r$ – некоторые постоянные, такие что $\delta> 0$, а $s+1$ и $r$ неотрицательны. В частности, показано, что если $s>-1/2$ и $(2-r) \delta = s+1$, то
$$ \varepsilon^{2-r} \Sigma_r(\varepsilon) = \dfrac{1}{2\delta (2-r)} + O \big(\lambda(\rho)\big),\ \rho=\varepsilon^{-1/2\delta},\ \lambda(\rho)=\mathbf E X_1^2 \Big(1 \land \dfrac{| X_1|}{\rho}\Big). $$
Аналогичная оценка с более сложной формулировкой имеет место и в случае $-1<s\le -1/2$. Таким образом, при $\delta=1/2$ обобщается пионерский результат Heyde (Appl. Probab., 1975) и большинство его уточнений (например, He and Xie (Acta Math. Appl. Sin., 2013)), а также соответствующие утверждения из работ Liu and Lin (Statist. Probab. Lett., 2006) и Kong and Dai (Stoch. Dynamics, 2017). Библ. – 17 назв.