|
Записки научных семинаров ПОМИ, 2022, том 516, страницы 69–120
(Mi znsl7270)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
О характеристических определителях граничных задач для систем типа Дирака
А. Лунев, М. Маламуд Российский Университет Дружбы Народов, Математический институт им. С. М. Никольского, ул. Орджоникидзе, 3, Москва
Аннотация:
Изучаются асимптотические свойства спектра граничных задач для следующей $n \times n$-системы типа Дирака $$ y' + Q(x) y = i \lambda B(x) y, y = \mathrm{col}\,(y_1, \ldots, y_n), x \in [0,\ell], $$ на конечном отрезке $[0,\ell]$ с общими регулярными граничными условиями $C y(0) + D y(\ell) = 1$, где $C, D \in \mathbb{C}^{n \times n}$. Здесь $Q = (Q_{jk})_{j,k=1}^n \in L^1$ – потенциальная матрица и $$ B = \mathrm{diag}\,(\beta_1, \ldots, \beta_n) = B^* \in L^1([0,\ell];\mathbb{R}^{n \times n}) $$ – диагональная “весовая” матрица. При $n=2m$ и $B(x) = \mathrm{diag}\,(-I_m, I_m)$ эта система эквивалентна $n\times n$-системе Дирака.
Показывается, что при условии $\mathrm{supp}\,(Q_{jk}) \subset \mathrm{supp}\,(\beta_k - \beta_j)$ разность характеристических определителей $\Delta_Q(\cdot)$ и $\Delta_0(\cdot)$ изучаемой и “невозмущенной” ($Q \equiv 0$) граничных задач является преобразованием Фурье некоторой суммируемой функции, $$ \Delta_Q(\lambda) = \Delta_0(\lambda) + \int\limits_{\widetilde{b}_-}^{\widetilde{b}_+} g(u) e^{i \lambda u} du, g \in L^1[\widetilde{b}_-, \widetilde{b}_+]. $$ Этот результат справедлив для произвольных граничных условий и произвольной диагональной матрицы $B(\cdot) = B(\cdot)^*$.
Это представление применяется для доказательства того, что характеристический определитель $\Delta_Q(\cdot)$ всегда является функцией класса $A$ экспоненциального типа, ограниченной на действительной оси. Также находятся условия, гарантирующие, что $\Delta_Q(\cdot)$ – функция типа синуса и дается точная асимптотика его нулей (собственных значений задачи) в этом случае.
Показывается также, что если элементы матрицы $B(\cdot)$ меняют знак, то даже в случае регулярных граничных условий в ситуации общего положения спектр распадается на две ветви: собственные значения “хорошей” ветви лежат в горизонтальной полосе и близки к таковым у “невозмущенной задачи”, а собственные числа “плохой” ветви имеют ненулевую плотность и уходящие в бесконечность мнимые части. Этот эффект иллюстрируется на конкретном $2 \times 2$-примере. Библ. – 37 назв.
Ключевые слова:
Системы обыкновенных дифференциальных уравнения, регулярные граничные условия, функции типа синуса, асимптотика собственных значений.
Поступило: 04.11.2022
Образец цитирования:
А. Лунев, М. Маламуд, “О характеристических определителях граничных задач для систем типа Дирака”, Математические вопросы теории распространения волн. 52, Зап. научн. сем. ПОМИ, 516, ПОМИ, СПб., 2022, 69–120
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl7270 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v516/p69
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 85 | PDF полного текста: | 35 | Список литературы: | 19 |
|