Операторы Штурма–Лиувилля с $W^{-1,1}$-матричными потенциалами

В работе исследуется спектральная структура реализаций матричного трехчленного оператора Штурма–Лиувилля
$$ \mathcal{L}(P,Q,R)y:=R^{-1}(x)\bigl(-(P(x)y')'+Q(x)y\bigr), y=(y_1,\ldots,y_m)^{\top}, $$
с сингулярным потенциалом $Q( \cdot ) = Q( \cdot )^*$ на полуоси и оси. Показывается, что в случае $Q( \cdot )\in W^{-1,1}(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ и некоторых условиях на коэффициенты $P( \cdot )$ и $R( \cdot )$, неотрицательный спектр реализации Дирихле $L^D$ (и других самосопряженных реализаций) является лебеговским постоянной кратности $m$. В частности, оператор Шредингера с матричным потенциалом $Q( \cdot )\in W^{-1,1}(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ имеет на полуоси $\mathbb{R}_+$ лебеговский спектр постоянной кратности $m$. Этот результат применяется к выражению Штурма–Лиувилля $\mathcal{L}(P,Q,R)$ с дельта-взаимодействиями на оси $\mathbb{R}$. Показано, что если минимальный оператор $L:= L_{\min }$ в $L^2(\mathbb{R};R;\mathbb{C}^m)$ самосопряжен, то при условии $Q( \cdot )\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}( \cdot )\in W^{-1,1}(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ неотрицательный спектр оператора $L$ является лебеговским на полуоси $\mathbb{R}_+$ постоянной кратности $2m$. В частности, если минимальный оператор Шредингера $\mathbf{H}$ на оси с потенциальной матрицей $Q( \cdot )=Q_1( \cdot )+\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\alpha_k\delta( \cdot -x_k)$, самомопряжен, $\mathbf{H} = \mathbf{H}^*$, то его неотрицательный спектр является лебеговским постоянной кратности $2m$ при условиях $Q_1( \cdot )\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}\in L^1(\mathbb{R}_+;\mathbb{C}^{m\times m})$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\alpha_k|<\infty$. Библ. – 21 назв.