Intrinsic volumes of ellipsoids

Выводится явная формула для внутренних объемов эллипсоидов в $\mathbb R^d$, $d\ge 2$, в терминах эллиптических интегралов. Именно, для эллипсоида ${\mathcal E}\subset \mathbb R^d$ с полуосями $a_1,\ldots, a_d$ показано, что для всех $k=1,\ldots,d$ выполнено
\begin{align*} V_k({\mathcal E})&=\kappa_k\sum_{i=1}^da_i^2s_{k-1}(a_1^2,\dots,a_{i-1}^2,a_{i+1}^2,\dots,a_d^2) &\times\int\limits_0^{\infty}{t^{k-1}\over(a_i^2t^2+1)\prod_{j=1}^d\sqrt{a_j^2t^2+1}} \rm{d}t, \end{align*}
где $s_{k-1}$ есть $(k-1)$-й элементарный симметрический многочлен и $\kappa_k$ обозначает объем $k$-мерного единичного шара. В случае малых и больших $k$, когда формулы выглядят наиболее просто, приведены примеры. В качестве приложения выведены новые формулы для среднего $k$-мерного объема случайного $k$-симплекса в эллипсоиде и для гауссовского $k$-симплекса. Библ. – 33 назв.