Двойные смежные классы $NgN$ нормализаторов максимальных торов простых алгебраических групп и орбиты частичных действий подгрупп Кремоны

Пусть $G$ – простая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем $K$ и пусть $N=N_G(T)$ – нормализатор зафиксированного максимального тора $T\leqslant G$. Далее, пусть $U$ – унипотентный радикал зафиксированной подгруппы Бореля $B$, содержащей $T$, и пусть $U^{-}$ – унипотентный радикал противоположной подгруппы Бореля $B^{-}$. Из разложения Брюа получаем разложение $G=NU^{-} UN$. Замкнутое по Зарисскому подмножество $U^{-} U\subset G$ изоморфно аффинному пространству $A^m_K$, где $m=\mathrm{dim} G-\mathrm{dim} T$ – количество корней в соответствующей системе корней. В данной работе мы строим подгруппу $\mathcal N\leqslant\mathrm{Cr}_m(K)$, которая действует частично на $A^m_K\approx\mathcal U$, и показываем, что существует взаимно-однозначное соответствие между орбитами этого частичного действия и множеством двойных смежных классов $\{ NgN\}$. Здесь мы также вычисляем множество $\{ g_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathfrak U}\subset\mathcal U$ представителей этих орбит в простейшем случае $G=\mathrm{SL}_2(\mathbb C)$. Библ. – 6 назв.