Неравенство о случайном сечении и случайном симплексе

Рассмотрим произвольное выпуклое тело $K\subset\mathbb R^d$. Пусть $X_1,\dots, X_k$, где $k\leq d$, случайным образом равномерно и независимо выбраны в $K$, а $\xi_k$ обозначает случайное равномерно распределенное $k$-мерное линейное подпространство. Мы покажем, что при $p\geq -d+k+1$ выполнено
$$ \mathbf E |K\cap\xi_k|^{d+p}\leq c_{d,k,p}\cdot|K|^k \mathbf E |\mathrm{conv}(0,X_1,\dots,X_k)|^p, $$
где $|\cdot|$ и $\mathrm{conv}$ обозначают объем соответствующей размерности и выпуклую оболочку. Константа $c_{d,k,p}$ такова, что при $k>1$ равенство выполняется тогда и только тогда, когда $K$ – эллипсоид с центром в начале координат, а при $k=1$ неравенство обращается в равенство. При $p=0$ данное неравенство обращается в неравенство Буземана о случайном сечении, а при $k=d$ – в неравенство Буземана о случайном симплексе. Мы также приведем аффинную версию данного неравенства, которая аналогичным образом обобщает неравенство Шнайдера и неравенство Бляшке–Грёмера. Библ. – 15 назв.