Дискретные внутренние объемы и валюации Грассмана

Для выпуклого решетчатого многогранника $ P \subset \mathbb R ^ d $ размерности $ d $ с вершинами в $ \mathbb Z ^ d $ обозначим через $ L (P) $ его дискретный объем, который определяется как число целых точек, лежащих в $ P $. Знаменитая теорема Эрхарта гласит, что для натурального числа $ n $ функция $ L (nP) $ является многочленом от $ n $ степени $ d $, старший коэффициент которого равен объему $ P $. В частности, $ L (nP) $ аппроксимирует объем $ nP $ при больших $ n $. В выпуклой геометрии одним из центральных понятий, обобщающих объем, являются внутренние объемы. Основная цель данной статьи – ввести и рассмотреть их дискретные аналоги. В частности, мы покажем, что для них справедлив аналог результата Эрхарта, где объем заменяется внутренним объемом. Кроме того, в статье введено и изучено понятие валюации Грассмана, которое обобщает как дискретный объем, так и валюацию телесного угла, введенную Ривом и Макдональдом. Библ. – 19 назв.