Аппроксимация нулей обобщенных полиномов Эрмита с помощью модулированной эллиптической функции

Вычисление распределений нулей полиномов является классической задачей анализа. В статье найдено приближенное распределение нулей обобщенных полиномов Эрмита $H_{m,n}(z)$ при $m$, $n\to\infty$, $m/n=O(1)$. Эти полиномы, представляющие собой вронскианы от классических полиномов Эрмита, возникают во многих задачах математической физики и теории случайных матриц. Вычисление асимптотики основано на скейлинговой редукции уравнения Пенлеве IV, решениями которого являются функции $u(z)= -2z +\partial_z \ln H_{m,n+1}(z)/H_{m+1,n}(z)$. При больших значениях $m, n$ логарифмическая производная $H_{m,n}$ удовлетворяет уравнению для эллиптической функции Вейерштрасса с медленно изменяющимися коэффициентами. При этом координаты полюсов такой модулированной функции Вейерштрасса совпадают с нулями $H_{m,n}$, а условие устойчивости по линейному приближению позволяет оценить границы множества нулей. Данная конструкция сравнительно проста и не использует громоздких вычислений метода изомонодромных деформаций. Библ. – 19 назв.