Неравенство Литлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для двупараметрической системы Уолша

В данной работе доказывается вариант неравенства Литлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для двупраметрической системы Уолша: для любого набора непересекающихся прямоугольников $I_k = I_k^1 \times I_k^2$ в ${{\mathbb Z}_+ \times {\mathbb Z}_+}$ и для функций $f_k$ со спектром Уолша в $I_k$ выполняется
$$ \left\|\sum\limits_k f_k\right\|_{L^p} \leq C_p \left\|\left(\sum\limits_{k = 1}^\infty |f_k|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p} , 1 < p \leq 2, $$
где $C_p$ не зависит от выбора прямоугольников $\{I_k\}$ и функций $\{f_k\}$. Доказательство основано на атомной теории двупраметрических мартингальных классов Харди. В ходе доказательства формулируется двупраметрический вариант теоремы Ганди об ограниченности операторов, отображающих мартингалы в измеримые функции, что представляет самостоятельный интерес. Библ. – 24 назв.