О пересечениях выпуклых тел

Пусть $K_0,K_1,\dots,K_m$ – непустые выпуклые компакты в $\mathbb R^n$. Положение $K_0$ фиксировано, а остальные $K_i$ подвергаются произвольным трансляциям на вектора $r_i\in\mathbb R^n$, $\rho=(r_1,\dots,r_m)\in\mathbb R^{nm}$. Тогда множество $D$ тех $\rho$, при которых непусто пересечение $\Phi(\rho)=K_0\cap\bigcap\limits^m_{i=1}(K_i+r_i)$, выпукло в $\mathbb R^{nm}$, а семейство $\Phi(\rho)$ вогнуто при $\rho\in D$. Пусть $k=\max\dim\Phi(\rho)\ge1$. Тогда для $k$-мерного объема $\operatorname{Vol}_k\Phi(\rho)=W_0(\Phi(\rho))$ и для каждой из интегральных поперечных мер $W_\nu(\Phi(\rho))$, $\nu=0,1,\dots,k-1$, величина $\sqrt[k-\nu]{W_\nu(\Phi(\rho))}$ есть вогнутая функция на $D$. Библ. – 2 назв.