|
Записки научных семинаров ПОМИ, 2019, том 479, страницы 52–84
(Mi znsl6760)
|
|
|
|
Наилучшие приближения алгебраических чисел многомерными цепными дробями
В. Г. Журавлев Владимирский государственный университет улица Строителей 11, 600024, Владимир, Россия
Аннотация:
Предлагается ядерно-модульный алгоритм ($\mathcal{KM}$-алгоритм) разложения алгебраических чисел $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$ из $\mathbb{R}^{d}$ в многомерные цепные дроби — последовательности рациональных чисел $$ \frac{P_{a}}{Q_{a}}=\Bigl( \frac{P^{a}_1}{Q^{a}},\ldots,\frac{P^{a}_d}{Q^{a}}\Bigr) $$ из $\mathbb{Q}^d$ с числителями $P^{a}_1,\ldots,P^{a}_d \in \mathbb{Z}$ и общим знаменателем $Q^{a}=1,2,3,\ldots$ $ \mathcal{KM}$-алгоритм относится к классу настраиваемых алгоритмов. Он основывается на построении локализованных единиц Пизо $\zeta>1$, для которых модули всех сопряженных $\zeta^{(i)}\ne \zeta$ содержатся в $\theta$-окрестности числа $\zeta^{-1/d}$, где параметр $\theta>0$ может принимать произвольное фиксированное значение. Доказано, что если $\alpha$ — вещественная алгебраическая точка степени $\mathrm{deg}(\alpha)=d+1$, то $ \mathcal{KM}$-алгоритм позволяет получить следующую аппроксимацию $$ \Bigl|\alpha - \frac{P_{a}}{Q_{a}}\Bigr| \leq \frac{c}{Q^{1+\frac{1}{d}-\theta}_{a}} $$ для всех $a\geq a_{\alpha,\theta}$, где константы $a_{\alpha,\theta}>0$ и $c=c_{\alpha,\theta}>0$ не зависят от $a=1,2,3,\ldots$ и подходящие дроби $\frac{P_{a}}{Q_{a}}$ вычисляются с помощью некоторого рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами, определяемые выбором локализованной единицы $\zeta$. Библ. — 19 назв.
Ключевые слова:
многомерные цепные дроби, наилучшие приближения, локализованные единицы Пизо.
Поступило: 18.04.2019
Образец цитирования:
В. Г. Журавлев, “Наилучшие приближения алгебраических чисел многомерными цепными дробями”, Алгебра и теория чисел. 2, Зап. научн. сем. ПОМИ, 479, ПОМИ, СПб., 2019, 52–84
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl6760 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v479/p52
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 94 | PDF полного текста: | 19 | Список литературы: | 9 |
|