Commutators of congruence subgroups in the arithmetic case

В нашей совместной статье с Алексеем Степановым доказано, что для двух любых комаксимальных идеалов $A$ и $B$ коммутативного кольца $R$, $A+B=R$, и любого $n\ge 3$ выполняется равенство
$$[E(n,R,A),E(n,R,B)]=E(n,R,AB). $$
Алек Мейсон и Уилсон Стотерс построили контр-примеры которые показывают, без предположения комаксимальности идеалов $A$ и $B$ это равенство может нарушаться даже для столь хороших колец как $\mathbb Z[i]$. В настоящей работе мы устанавливаем довольно удивительный результат, чтол это равенство – и, на самом деле, более сильное равенство $[\operatorname{GL}(n,R,A),\mathrm{GL}(n,R,B)]=E(n,R,AB)$ – выполняются для любых пар идеалов в случае, когда $R$ дедекиндово кольцо арифметического типа с бесконечной мультипликативной группой. Доказательство является смесью элементарных вычислений в духе предшествующих работ Вильберда ван дер Каллена, Рузби Хазрата, Дзухонга Чжанга, Алексея Степанова и автора, и, с другой стороны, явного вычисления многопараметрических относительных $\operatorname{SK}_1$ из моей статьи 1982 года, которая, в свою очередь, опиралась на глубокие арифметичсекие результаты Жана-Пьера Серра и Леонида Васерштейна (после их исправления Армином Лейтбехером и Бернардом Лилем). Библ. – 50 назв.