Асимптотика следов путей на графах Юнга и Шура

Пусть $G$ – градуированный граф с уровнями $V_0,V_1,\dots$. Зафиксируем $m$ и выберем вершину $v$ на уровне $V_n$, $n\ge m$. Рассмотрим равномерную меру на путях из $V_0$ в вершину $v$. Каждый такой путь имеет единственную вершину на уровне $V_m$, тем самым индуцируется мера $\nu_v^m$ на $V_m$. Естественно ожидать, что эти меры имеют предел, когда вершина $v$ убегает на бесконечность достаточно “регулярным” образом. Мы доказываем это (и вычисляем предел) для графов Юнга и Шура, регулярность здесь следует понимать так, что доля клеток диаграммы, заключенных в первой строке и первом столбце, стремится к $0$. Для графа Юнга это было фактически установлено установлено Вершиком и Керовым в работе 1981 г.; наше доказательство более непосредственное и элементарное. Библ. – 12 назв.