О разностных схемах, аппроксимирующих дифференциальные уравнения первого порядка и задающих проективные соответствия между слоями

Известно, что есть замечательные дифференциальные уравнения, которые могут быть проинтегрированы в CAS, однако нет единого подхода к описанию этого класса дифференциальных уравнений. В нашей работе мы будем говорить о замечательных дифференциальных уравнениях в другом смысле: для этих уравнений можно составить конечно-разностные схемы, которые точно сохраняют алгебраические свойства решений. Нужно отметить, что этот класс дифференциальных уравнений совпадает с классом, введенным Пенлевe. В терминах задачи Коши дифференциальное уравнение этого класса задает алгебраическое соответствие между начальными и конечными значениями. Например, уравнение Риккати $y'=p(x)y^2+q(x)y+r(x)$ задает взаимно однозначное (бирациональное) соответствие между начальными и конечными значениями $y$ на проективной прямой. Однако стандартные конечно-разностные схемы не сохраняют это алгебраическое свойство точного решения. Более того, схема, обладающая этим свойством, верно описывает решение не только до, но и после подвижных полюсов и сохраняет такие алгебраические свойства уравнений как ангармоническое отношение. После необходимого введения (разделы 1 и 2) мы описываем такую разностную схему для уравнения Риккати и доказываем ее свойства, упомянутые выше. Библ. – 20 назв.