On the consistency analysis of finite difference approximations

Конечно-разностные схемы широко используются в прикладной математике для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Однако для заданной разностной схемы обычно очень сложно оценить качество используемой в ней конечно-разностной аппроксимации по отношению к наследованию алгебраических свойств рассматриваемой дифференциальной задачи. В данной работе мы представим критерий, подходящий для такой оценки и означающий свойство сильной согласованности (аппроксимации) для конечно-разностных дискретизаций систем дифференциальных уравнений в частных производных, которое усиливает стандартное требование аппроксимации рассматриваемых дифференциальных уравнений разностными. Для проверки этого свойства мы используем алгоритм, основанный на вычислении разностных базисов Гребнера. Тем самым, можно не только проверять качество разностных аппроксимаций, но и строить такие аппроксимации, которые наследуют на дискретном уровне важные алгебраические свойства исходных дифференциальных уравнений. Представленный в работе подход проиллюстрирован моделированием дорожки Кармана для двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости, описываемого уравнениями Навье–Стокса. Библ. – 34 назв.