Мера Хаусдорфа на $N$-мерных многообразиях в $\mathbb R^m$ и $N$-мерные вариации

По известной теореме Жордана кривая в $\mathbb R^m$, параметризованная непрерывным отображением $f\colon[a;b]\to\mathbb R^m$ с координатными функциями $f_1,\dots,f_m$, спрямляема тогда и только тогда, когда вариации всех функций $f_1,\dots,f_m$ конечны, а для длины кривой выполнены неравенства:
$$ V_{f_i}([a;b])\le l(f([a;b]))\le\sum_{k=1}^mV_{f_k}([a;b]),\quad i=1,\dots,m. $$
При этом $l(f([a;b]))=H_1(f([a;b]))$, где $H_1$ – одномерная мера Хаусдорфа в $\mathbb R^m$. В данной работе понятие вариации функции одной вещественной переменной на промежутке $[a;b]$ обобщено на случай непрерывного отображения $f\colon G\to\mathbb R^n$, где $G$ открыто в $\mathbb R^n$, на множестве $A\subset G$, являющемся объединением не более чем счётного семейства компактов. Пусть $f\colon G\to\mathbb R^m$, где $G$ открыто в $\mathbb R^n$, $n\le m$, $f_1,\dots,f_m$ – координатные функции отображения $f$. Если $1\le i_1<i_2<\dots<i_n\le m$, $\alpha=\{i_1,\dots,i_n\}$, то обозначим через $f_\alpha$ отображение с координатными функциями $f_{i_1},\dots,f_{i_n}$:
$$ f_\alpha\colon \begin{cases} x_{i_1}=f_{i_1}(t_1,\dots,t_n)\\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ x_{i_n}=f_{i_n}(t_1,\dots,t_n) \end{cases} \quad(t_1,\dots,t_n)\in G. $$
Основной результат данной работы: если $f$ – непрерывное инъективное отображение открытого множества $G\subset\mathbb R^n$ в $\mathbb R^m$, $n\le m$, множество $A\subset G$ является объединением не более чем счётного семейства компактов, то
$$ V_{f_\alpha}(A)\le H_n(f(A)), $$
где $V_{f_\alpha}(A)$ – вариация отображения $f_\alpha$ на множестве $A$, $H_n$ – $n$-мерная мера Хаусдорфа в $\mathbb R^m$. Библ. – 4 назв.