О средних Рисса коэффициентов дзета-функций Эпштейна

Рассматривается среднее Рисса $D_\rho(x;\zeta_3)$ коэффициентов дзета-функции Эпштейна
$$ \zeta_3(s)=\sum^\infty_{n=1}r_3(n)n^{-s}, $$
ассоциированной с суммой трех квадратов.
Из работы (1962 г., MR25#3911) Чандрасекхарана и Нарасимхана следует, что остаточный член $\Delta_\rho(x;\zeta_3)$ в асимптотической формуле для $D_\rho(x;\zeta_3)$ оценивается следующим образом:
$$ \Delta_\rho(x;\zeta_3)= \begin{cases} O(x^{1/2+\rho/2)}&(\rho>1),\\ \Omega _\pm(x^{1/2+\rho/2})&(\rho\geq0). \end{cases} $$
В настоящей работе доказано:
$$ \Delta_\rho(x;\zeta_3)= \begin{cases} O(x\log x)&(\rho=1),\\ O(x^{2/3+\rho/3+\varepsilon})&(1/2<\rho<1),\\ O(x^{3/4+\rho/4+\varepsilon})&(0<\rho\leq1/2). \end{cases} $$

Приводятся следствия этого результата, а также новые аналогичные оценки в случае $\zeta_k(s)$, $k\geq4$. Библ. – 19 назв.