О кубических экспоненциальных суммах и суммах Гаусса

Пусть $e_q$ – нетривиальный аддитивный характер конечного поля $\mathbb F_q$ порядка $q\equiv1\pmod3$ и пусть $\psi$ – кубический мультипликативный характер поля $\mathbb F_q$, $\psi(0)=0$. Рассмотрим кубическую сумму Гаусса и кубическую экспоненциальную сумму –
\begin{equation*} G(\psi)=\sum_{z\in\mathbb F_q}e_q(z)\psi(z),\quad C(w)=\sum_{z\in\mathbb F_q}e_q\Bigl(\frac{z^3}w-3z\Bigr),\quad w\in\mathbb F_q\quad w\neq0. \end{equation*}
Для $a,b\in\mathbb F_q$, $ab\neq0$, показано, что
\begin{equation*} \frac1q\sum_nC(an)C(bn)\psi(n)+\frac1q\psi(ab)G(\psi)^2=\bar\psi(ab)\psi(a-b)\overline{G(\psi)}, \end{equation*}
с суммированием по $n\in\mathbb F_q$, $n\neq0$. Библ. – 5 назв.