On optimal matching of Gaussian samples

Пусть $X_1,\dots,X_n$ – независимые случайные величины с общим стандартным гауссовским распределением $\mu$ в $\mathbb R^2$ и пусть $\mu_n=\frac1n\sum_{i=1}^n\delta_{X_i}$ – соответствующая эмпирическая мера. Мы показываем, что для некоторой константы $C>0$ верно
$$ \frac1C\frac{\log n}n\leq\mathbb E(\mathrm W_2^2(\mu_n,\mu))\leq C\frac{(\log n)^2}n, $$
где $\mathrm W_2$ – квдратичная метрика Канторовича, и предполагаем, что оценка снизу даёт правильный порядок. Доказательство основано на новом подходе, базирующемся на уравнениях в частных производных и оптимальной транспортировке масс, предложенном Амброзио, Стра и Тревизаном. Библ. – 39 назв.